Question

12．如图，点P在函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的图象上运动，O为坐标原点，点A为PO的中点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，则当⊙P与坐标轴相切时，点P的坐标为（$\sqrt{3}$，1）或（1，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 结合点P在反比例函数图象上，设出点P的坐标，由两点间的距离公式求出OP的长度，由点A为OP的中点，即可找出PA的长度，再根据相切的两种不同形式分类，结合点P的坐标以及圆的半径即可得出关于P点横坐标的一元高次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：∵点P为函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的图象上的点，
∴设点P的坐标为（n，$\frac{\sqrt{3}}{n}$）（n＞0）．
∴OP=$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{n}）^{2}}$．
∵点A为PO的中点，
∴PA=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{n}）^{2}}$．
⊙P与坐标轴相切分两种情况：
①⊙P与x轴相切，此时有$\frac{1}{2}$$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{n}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，
整理得：n²=$\frac{9}{{n}^{2}}$，解得：n²=3，或n²=-3（舍去），
解n²=3，得：n₁=$\sqrt{3}$，n₂=-$\sqrt{3}$（舍去），
此时点P的坐标为（$\sqrt{3}$，1）；
②⊙P与y轴相切，此时有$\frac{1}{2}$$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{n}）^{2}}$=n，
整理得：n²=$\frac{1}{{n}^{2}}$，解得：n²=1，或n²=-1（舍去），
解n²=1，得：n₃=1，a₄=-1（舍去），
此时点P的坐标为（1，$\sqrt{3}$）．
综上可知：点P的坐标为（$\sqrt{3}$，1）或（1，$\sqrt{3}$）．
故答案为：（$\sqrt{3}$，1）或（1，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式以及切线的性质，解题的关键是分圆P与x（或y）轴相切分类讨论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出点P的坐标，根据切线的性质，找出P点坐标与半径之间的关系是关键．