Question

15．如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴与点C（0，2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6
（1）求△COP的面积；　
（2）求点A的坐标及p的值；
（3）若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）已知P的横坐标，即可知道△OCP的边OC上的高长，利用三角形的面积公式即可求解；
（2）求得△AOC的面积，即可求得A的坐标，利用待定系数法即可求得AP的解析式，把x=2代入解析式即可求得p的值；
（3）根据△BOP与△DOP的面积相等得出3OB=2OD，则B（-$\frac{n}{m}$，0），则D（0，n），再利用待定系数法求出直线BD的解析式即可．

解答 解：（1）作PE⊥y轴于E，
∵P的横坐标是2，则PE=2．
∴S_△COP=$\frac{1}{2}$OC•PE=$\frac{1}{2}$×2×2=2；

（2）∴S_△AOC=S_△AOP-S_△COP=6-2=4，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=4，即 $\frac{1}{2}$×OA×2=4，
∴OA=4，
∴A的坐标是（-4，0）．
设直线AP的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}-4k+b=0\\ b=2\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right.$，
则直线的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+2．
当x=2时，y=3，即p=3；

（3）设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0），
∵P（2，3），△BOP与△DOP的面积相等，
∴3OB=2OD，
∴B（-$\frac{n}{m}$，0），则D（0，n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=3}\\{2n=-\frac{3n}{m}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{2}}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x+6．

点评 本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，涉及到三角形的面积的相关知识，正确求得A的坐标是关键．