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14.a、b、c为△ABC的三边,当m>0时,关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2$\sqrt{m}$ax=0有两个相等的实数根.
(1)将方程整理为关于x的一元二次方程的一般形式;
(2)求证:△ABC为直角三角形.

分析 (1)把方程整理成一般式得(c+b)x2-2$\sqrt{m}$ax+m(c-b)=0;
(2)根据根的判别式得出(-2$\sqrt{m}$a)2-4m(c+b)(c-b)=0,化简得到a2+b2=c2.根据勾股定理的逆定理得到△ABC一定是直角三角形.

解答 (1)解:方程化为一般式得(c+b)x2-2$\sqrt{m}$ax+m(c-b)=0;
(2)证明:∵关于x的一元二次方程c(x2+m)+b(x2-m)-2$\sqrt{m}$ax=0有两个相等的实数根,
∴(-2$\sqrt{m}$a)2-4m(c+b)(c-b)=0,
∴4ma2-4m(c2-b2)=0,
∴a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形.

点评 本题考查了根的判别式的应用,注意:一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0),当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程无实数根.

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