Question

已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动。当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动。
（1）求B点坐标；
（2）设运动时间为t秒。
①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；
②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积。
③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动。在②的条件下，PM＋PN的长度也刚好最小，求动点P的速度。
 

Answer 1

解（1）作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形，

∴OD=AB=10 ∴CD=OC－OD=12  ∴OA=BD==9 ∴B（10，9）
（2）①由题意知：AM=t，ON=OC－CN=22－2t   ∵四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半 ∴  ∴t="6"
②设四边形OAMN的面积为S，则 
∵0≤t≤10，且s随t的增大面减小 ∴当t=10时，s最小，最小面积为54。
③如备用图，取N点关于y轴的对称点N^/，连结MN^/交AO于点P，此时PM＋PN=PM＋PN^/=MN长度最小。

当t=10时，AM=t=10=AB，ON=22－2t=2 
∴M（10，9），N（2，0）∴N^/（－2，0）  
设直线MN^/的函数关系式为，则
 解得                     
∴P（0，）  ∴AP=OA－OP=  
∴动点P的速度为个单位长度/ 秒  

解析