Question

已知k为整数，若关于x的二次方程kx²+（2k+3）x+l=O有有理根，则k的值是     ．

Answer 1

【答案】分析：先根据原方程有有理根可得出此方程的判别式为完全平方数即=（2k+3）²-4k为完全平方数，设（2k+3）²-4k=m²（m为正整数），即4k²+8k+9-m²=0，再把此式看作关于k的二次方程，由题设可知此方程有整数根，再根据此方程的判别式为完全平方数即可得到关于n、m的方程组，求出m、n的值，进而可求出k的值．
解答：解：∵关于x的二次方程kx²+（2k+3）x+l=O有有理根，
∴△₁=（2k+3）²-4k为完全平方数，
设（2k+3）²-4k=m²（m为正整数），即4k²+8k+9-m²=0①，
将①式看作关于k的二次方程，由题设可知此方程有整数根，故①式的判别式△₂=64-（9-m²）=16（m²-5）应为完全平方数，
令m²-5=n²（n为正整数，且m＞n），则有（m+n）（m-n）=5，
∴，解得，
将m=2代入①式得k=-2或k=0（舍去），
∴k=-2．
故答案为：-2．
点评：本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根，解答此题的关键是熟知若方程有有理根，则此方程的判别式必为完全平方数这一关键知识点．