Question

已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD，连接AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：BP=2PQ．

Answer 1

证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠C=∠ABC=60°，
∵AE=CD，
∴EC=BD；
∴△BEC≌△ADB（SAS），
∴∠EBC=∠BAD；
∵∠ABE+∠EBC=60°，则∠ABE+∠BAD=60°，
∵∠BPQ是△ABP外角，
∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ，
又∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．
分析：根据全等三角形的判定方法SAS可证得△BEC≌△ADB，根据各角的关系及三角形内角、外角和定理可证得∠BPQ=60°，即可得结论．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等边三角形、直角三角形、三角形内角及外角和定理等知识点，是一道难度中等的综合题型．