Question

19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向三角形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，BD平分∠ABC．
（1）判断四边形ACEF为何种特殊的四边形，请说明理由．
（2）若AB=3，BD=4$\sqrt{2}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出∠ABC+∠ADC=180°，证出A、B、C、D四点共圆，由圆周角定理得出∠DAC=∠CBD=45°，∠CAF=2∠DAC=90°，即可得出结论；
（2）作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，得出DM=DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=4，由三角形和四边形的面积得出S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=S_△ABD+S_△BCD，得出$\frac{3}{2}$BC+$\frac{1}{4}$（BC²+9）=6+2BC，解方程即可．

解答 （1）解：四边形ACEF是正方形；理由如下：
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠CBD=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，AC²=BC²+AB²=BC²+9，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，∠DAC=∠DAF=$\frac{1}{2}$∠CAF，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠DAC=∠CBD=45°，
∴∠CAF=2∠DAC=90°，
∴四边形ACEF是正方形；
（2）解：作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，如图所示：
则△BDM和△BDN是等腰直角三角形，
∴DM=DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=4，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×DM=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×BC=$\frac{3}{2}$BC，
S_△BDC=$\frac{1}{2}$BC×DN=2BC，S_△ACD=$\frac{1}{4}$S_{正方形ACEF}=$\frac{1}{4}$AC²=$\frac{1}{4}$（BC²+9），
S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=S_△ABD+S_△BCD
∴$\frac{3}{2}$BC+$\frac{1}{4}$（BC²+9）=6+2BC
解得：BC=5或BC=-3（舍去），
∴BC=5．

点评 本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、四点共圆、圆周角定理、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算方法等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要作辅助线通过四边形和三角形的面积关系得出方程才能得出结果．