Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm．动点P、Q同时从A点出发，点P沿线段AB→BC→CD的方向运动，速度为2cm/s；点Q沿线段AD的方向运动，速度为1cm/s．当P、Q其中一点先到达终点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm²）．
（1）当点P在线段AB上运动时，是否存在某个t的值使∠CQP=60°？通过计算说明；
（2）当点P在CD上时，是否存在某个t的值使PQ=AQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）试探究：点P在整个运动过程中，当t取何值时，S的值最大？并求出最大值．

Answer 1

解：（1）不存在，
过B作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∵AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm，
∴AE=DF=3cm，
∴cosA===，
∴∠A=∠D=60°，
若∠CQP=60°，则∠CQD+∠AQP=120°，
∵∠DCQ+∠CQD=120°，
∴∠DCQ=∠AQP，
∴△CDQ∽△AQP，
∴=，
∵AP=2t AQ=tDQ=8-t，
∴=，
∴t₁=0，t_2⁼-4，
∵点P在线段AB上运动
∴0＜t＜3
∴不存在某个t的值使∠CQP=60°．

（2）存在，过点P作PF⊥AD于F，
∵PD=14-2t，
∴PF=PD•sinD=（14-2t）•．
∴DF²=PD²-PF²=（14-2t）²-（-t+7）²
又∵FQ=8-AQ-DF
∴PQ²=PF²+FQ²
∴t=
∴当点P在CD上时，存在某个t的值使PQ=AQ．

（3）当点P在线段CD上（不与D点重合）时，4≤t＜7．
过点P作PF⊥AD于F，如图．
∵PD=14-2t，
∴PF=PD•sinD=（14-2t）•．
∴S=（4≤t＜7）．
①∵当0＜t≤3时．S=．
由函数图象可知，S随t的增大而增大，
∴当t=3时，S_最大=；
②当3≤t≤4时，S=．
由函数图象可知，S随t的增大而增大，
∴当t=4时，S_最大=6；
③当4≤t＜7时，S=．
由函数图象知，S随t的增大而减小，
∴当t=4时，S_最大=6．
综上所述，在整个运动过程中，当t=4时，S的值最大．
分析：（1）若假设存在某个t的值使∠CQP=60°，则过 B作BE⊥AD于E，CF⊥ADAD于F，可证明△CDQ∽△AQP，利用相似的性质得到对应边的比值相等，建立关于t的方程，从而求出t，再求出t的取值范围，看是否满足题意即可；
（2）过点C作CE⊥AD于点E，构造直角三角形PDF和PFQ，利用已知条件和勾股定理建立建立关于t的方程，从而求出t的值；
（3）要根据点P在不同的时间段，即t的不同取值分三种情况进行分类讨论．
点评：本题考查了等腰梯形的性质和二次函数的最值，还利用了解直角三角形的有关知识．注意处理第（3）小题要分三种情况讨论．