Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的啦标为（-1，0），点B在抛物线上，

1.点Ａ的坐标为__________,点Ｂ的坐标为___________;抛物线的解析式为_________;

2.在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP是以AC为直角边向直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由

3.若点D是(1)中所求抛物线在第三象限内的一个动点，连结BD、CD。当△BCD的面积最大时，求点D的坐标。

4.若点P是(1)中所求抛物线上一个动点，以线段AB、BP为邻边作平形四边形ABPQ。当点Q落在x轴上时，直接写出点P的坐标．

 

Answer 1

 

1.Ａ（0，2）,B(-3,1).

2.存在点Ｐ（点B除外），使三角形ＡＣＰ是以ＡＣ为直角边的直角三角形    4分

理由如下：

分情况讨论：

①延长ＢＣ交抛物线于点Ｐ，连结ＡＰ₁

因为∠ACB=90°,∴∠ACP=90°

设直线BC的解析式为y=kx+b

将Ｂ(-3,1),C(-1,0)代入上式得

所以                        5分

联立方程组解得（不符合题意舍去）

所以：Ｐ₁（1，-1）                                        6分

②过点Ａ作ＡＰ₂//BC,交抛物线于点Ｐ₂，Ｐ₃

设直线ＡＰ₂的解析式为，将代入得

所以：

联立方程组解得：

所以：Ｐ₂（2，1），Ｐ₃（-4，4）

综上所述：存在点Ｐ₁（1，-1），Ｐ₂（2，1），Ｐ₃（-4，4）（点Ｂ除外），使三角形ＡＣＰ

是以ＡＣ为直角边的直角三角形                              7分

3.设点Ｄ的坐标为（m,）,过点Ｄ作ＤＭ⊥x轴交直线ＢＣ于点Ｍ

所以点Ｍ的坐标为（m，），ＭＤ＝          8分

再设三角形ＢＣＤ的面积为Ｓ。

Ｓ＝＝       9分

因为Ｓ是m的二次函数，且抛物线开口向下，函数有最大值

即当m＝-1时Ｓ有最大值２

此时点Ｄ的坐标为（-1，-2）

4.（1，-1）。（-2，-1）

解析:（1）根据勾股定理求点Ａ的坐标,点Ｂ的坐标，根据点Ｂ的坐标求抛物线的解析式

（２）根据延长ＢＣ交抛物线于点Ｐ，连结ＡＰ₁，或者过点Ａ作ＡＰ₂//BC,交抛物线于点

Ｐ₂，Ｐ₃构成的三角形进行解答

（3）设点Ｄ的坐标为（m,）,过点Ｄ作ＤＭ⊥x轴交直线ＢＣ于点Ｍ，求得ＭＤ＝，三角形ＢＣＤ的面积为,再根据二次函数的性质求出点D的坐标

(4)根据平形四边形的性质求出点P的坐标