Question

如图所示，已知：AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DE＝AC，AD≠EC． (1) 求证：四边形ADCE是等腰梯形． (2) 若△ADC的周长为16cm，AE＝3cm，AC－EC＝3cm，求四边形ADCE的周长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

证明：由角平分线和平行线可推出一些相等的角，从而得OA＝OD，再由AC＝DE推出∠OCE＝∠OEC．则AD∥CE．因AD≠CE．所以能说明四边形ADCE是梯形，再由已知条件易得△ADE≌△DAC，因此AE＝CD，故可证四边形ADCE为等腰梯形． 　　∵AB∥DE(已知)，∴∠BAD＝∠ADE(两直线平行内错角相等)． 　　又∵∠BAD＝∠CAD(角平分线定义)，∴∠CAD＝∠ADE(等量代换)． 　　∴OA＝OD(等角对等边)． 　　∵AC＝DE(已知)，∴OE＝OC(等式的性质)． 　　∴∠OEC＝∠OCE(等边对等角)． 　　∵∠AOD＝∠COE(对顶角相等)， 　　∴∠CAD＝∠OCE． 　　∴AD∥CE(内错角相等，两直线平行)． 　　而AD≠CE． 　　∴四边形ADCE是梯形． 　　又∵∠CAD＝∠ADE，AD＝AD，AC＝DE， 　　∴△ADE≌△DAC(SAS)． 　　∴AE＝DC(全等三角形对应边相等)． 　　∴四边形ADCE是等腰梯形．

(2)

解：因为四边形ADCE是等腰梯形，由条件易求四边形ADCE的周长． 　　∵四边形ADCE是等腰梯形，∴AE＝CD＝3cm． 　　∴梯形ADCE的周长＝AD＋EC＋AE＋DC＝AD＋CE＋6， 　　而△ADC的周长＝AD＋DC＋AC＝16(cm)． 　　∴AD＋AC＝13cm． 　　∵AC－EC＝3cm， 　　∴AD＋AC－(AC－EC)＝10cm． 　　即AD＋EC＝10cm． 　　故梯形ADCE的周长为10cm＋6cm＝16cm． 　　说明：等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形，在判定一个四边形是梯形时，要判定一组对边不平行常常有困难，故可用判定平行的两边不相等的方法来解决．