Question

一张等腰直角三角形纸片ABC，∠A=90°，AB=AC=2

2

，另有一张等腰梯形纸片DEFG，DG∥EF，DE=GF．现将两张纸片叠放在一起（如图1），此时梯形的下底EF与BC边完全重合，梯形的两腰分别落在AB，AC上，且D，G恰好分别是AB，AC的中点．
（1）求BC的长及等腰梯形DEFG的面积；
（2）实验与探究（备用图供实验、探究使用）
如图2，固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1厘米的速度沿射线BC方向平行移动，宜到点E与点C重合时停止，设运动时间为x秒时，等腰梯形平移到D₁EFG₁的位置．
①当x为何值时，四边形DBED₁是菱形，并说明理由．
②设△ABC与等腰梯形D₁EFG₁重叠部分的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=4，根据三角形中位线求出DG=

1

2

BC=2，BD=

1

2

AB=

2

，过D作DM⊥BC于M，求出DM，根据面积公式求出即可．
（2）①当x=

2

秒时，四边形DBED₁是菱形，求出四边形DBED₁是平行四边形，根据菱形的判定得出BE=DB=

2

．
②分为两种情况：画出图形，（i）当0＜x≤2时，则DM=1，D₁G=2-x，CE=4-x，根据面积公式求出即可．（ii）当2＜x≤4时，点D₁在线段DG的延长线上时，
设D₁E和CG交于N，过N作NH⊥BC于H，求出EC=4-x，求出CN=NE=

4-x

2

，根据三角形面积公式求出即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，由勾股定理得：BC=

AB2+AC2

=4，
∴∠B=45°，EF=BC=4，
∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG=

1

2

BC=2，BD=

1

2

AB=

2

，
过D作DM⊥BC于M，如图1，
则∠DMB=90°，
∵∠B=45°，BD=2，
∴DM=BM=1，
∴S_梯形DEFG=

1

2

×（DG+EF）×DM=

1

2

×（2+4）×1=3．

（2）①如图2，当x=

2

秒时，四边形DBED₁是菱形，
理由是：根据题意BE=x，
∵BD∥ED₁，DD₁∥BE，
∴四边形DBED₁是平行四边形，
当BE=DB=

2

时，四边形DBED₁为菱形．

②分为两种情况：
（i）、如图3，当0＜x≤2时，
点D₁在线段DG上，
DM=1，D₁G=2-x，CE=4-x，
则重叠部分的面积是y=

1

2

•（2-x+4-x）•1，
即y=3-x；
（ii）、当2＜x≤4时，点D₁在线段DG的延长线上时，如图4，
设D₁E和CG交于N，过N作NH⊥BC于H，
∵平移得到四边形D₁EFG₁，
∴∠ENC=∠A=90°，
∵EC=4-x，∠NCE=45°，
∴∠NEC=45°=∠NCE，
∴CN=NE=

4-x

2

，
∴重叠部分的面积y=

1

2

×CN×NE=

1

2

•

4-x

2

•

4-x

2

，
即y=

1

4

x²-2x+4．

点评：本题考查了三角形的面积，菱形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，梯形的性质，三角形的中位线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，有一定的难度．