Question

如图所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．

Answer 1

分析：分析由于A′，B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ，QA的中点，有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点．

解答：证明：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，
∵A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．
∴A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，
∴四边形A′B′C′D′是平行四边形．
由于四边形ABCD是矩形，四边形PCBQ是平行四边形，
∴AB⊥BC，BC∥PQ．
从而AB⊥PQ，
∴A′B′⊥B′C′，
∴四边形A′B′C′D′是矩形，
∴A′C′=B′D′．

点评：此题主要考查了矩形的性质与判定，在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．