Question

如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD=DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．

Answer 1

考点：等边三角形的判定,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB=∠CBD进而得出AD=DC，
（2）利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案．

解答：（1）证明：∵DC‖AB，
∴∠CDB=∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC，
又∵AD=BC，
∴AD=DC；

（2）△DEF为等边三角形，
证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，
∴△DEF为等边三角形．

点评：此题主要考查了等边三角形判定以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，得出EF=DF=BF是解题关键．