Question

如图，抛物线y=ax²+bx（a＞0）与双曲线y=

k

x

相交于点A，B．已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件可以推出A点的坐标，把A、B两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式，即可得出a、b、k的值，就可以确定双曲线和抛物线的解析式了；
（2）根据A、B抛物线解析式，可以确定C点的坐标，即可求AC和AC边上的高的长度，就可以计算出△ABC的面积了；
（3）根据题意画出图形，根据A、B两点坐标出去直线AB相应的一次函数结合C点的坐标，CD∥AB，得出直线CD相应的一次函数，然后结合D点也在抛物线上，解方程组，求D点坐标．

解答：解：（1）把点B（-2，-2）的坐标，代入y=

k

x

，
得：-2=

k

-2

，
∴k=4．
即双曲线的解析式为：y=

4

x

．
设A点的坐标为（m，n）．
∵A点在双曲线上，
∴mn=4．①
又∵tan∠AOx=4，
∴

n

m

=4，即n=4m．②
由①②，得：m²=1，
∴m=±1．
∵A点在第一象限，
∴m=1，n=4，
∴A点的坐标为（1，4）
把A、B点的坐标代入y=ax²+bx，得：

4=a+b -2=4a-2b

，
解得a=1，b=3．
∴抛物线的解析式为：y=x²+3x；

（2）∵AC∥x轴，
∴点C的纵坐标y=4，
代入y=x²+3x，得方程x²+3x-4=0，
解得x₁=-4，x₂=1（舍去）．
∴C点的坐标为（-4，4），且AC=5，
又∵△ABC的高为6，
∴△ABC的面积=

1

2

×5×6=15；

（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积．
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D．
∵△ABD与△ABC同底等高，
∴△ABD的面积等于△ABC的面积，
因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（-4，4），CD∥AB，
所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12．
解方程组

y=x2+3x y=2x+12

，
∴x²+3x=2x+12，
即x=3或x=-4，
当x=3时，y=18，
当x=-4时，y=4，
∴

x=3 y=18

或

x=-4 y=4

（不合题意，舍去），
所以点D的坐标是（3，18）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点：根据点的坐标求抛物线解析式、双曲线解析式以及三角形的面积求法．关键在于根据点的坐标和相关的知识点求抛物线解析式，双曲线解析式和直线解析式．