【题目】如图,在等边△ABC中,D、E分别是BC、AC上的动点且BD=CE,连接AD与BE相交于点F,连接CF,下列结论:①△ABD≌△BCE;②∠AFB=120°;③若BD=CD,则FA=FB=FC;④∠AFC=90°,则AF=3BF,其中正确的结论共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
根据等边三角形的性质可得∠C=∠ABC=60°,AB=BC,利用SAS可证明△ABD≌△BCE,可判定①正确;根据全等三角形的性质可得∠BAD=∠EBC,利用三角形外角性质可得∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠ABC=60°,根据平角的定义可得∠AFB=120°,可判定②正确;由BD=CD,BD=CE可得点D、E为BC、AC的中点,根据等边三角形的性质可得AD、BE是BC、AC的垂直平分线,根据垂直平分线的性质可判定③正确;过点A作AG⊥BE于G,利用SAS可证明△ABE≌△ADC,根据全等三角形对应边上的高对应相等可得AG=CF,利用HL可证明△ABG≌△ACF,可得AF=BG,由∠AFE=60°可得∠FAG=30°,根据含30°角的直角三角形的性质可得AF=2FG,可得AF=BG=2FG=2BF,即可判定④错误.综上即可得答案.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△BCE,故①正确,
∴∠BAD=∠CBE,
∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°,
∴∠AFB=180°-∠AFE=120°,故②正确,
∵BD=CD,BD=CE,
∴点D、E为BC、AC的中点,
∵△ABC是等边三角形,
∴BE、AD是BC、AC的垂直平分线,
∴FA=FB=FC,故③正确,
过点A作AG⊥BE于G,
∵BD=CE,BC=AC,
∴CD=AE,
在△ABE和△ADC中,,
∴△ABE≌△ADC,
∵∠AFC=90°,AG⊥BE,
∴AG、CF是BE和AD边上的高,
∴AG=CF,
在△ABG和△ACF中,,
∴△ABG≌△ACF,
∴AF=BG,
∵AG⊥BE,∠AFE=60°,
∴∠FAG=30°,
∴AF=2FG,
∴BG=2FG,
∴BF=FG,
∴AF=2BF,故④错误,
综上所述:正确的结论有①②③,共3个,
故选C.
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【题目】如图,已知点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,作Rt△ABC,边BC在x轴上,点D为斜边AC的中点,连结DB并延长交y轴于点E,若△BCE的面积为4,则k=______.
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【题目】某生利用标杆测量学校旗杆的高度,标杆CD等于3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛距地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m.则旗杆AB的高度为_____.
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【题目】如图,E 是 BC 的中点,DE 平分∠ADC.
(1)如图 1,若∠B=∠C=90°,求证:AE 平分∠DAB;
(2)如图 2,若 DE⊥AE,求证:AD=AB+CD.
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【题目】已知,如图△ABC和△CDE均为等边三角形,B、C、D三点在同一条直线上,连接线段BE、AD交于点F,连接CF,
(1)求证:∠FBC=∠FAC.
(2)求∠BFC的度数.
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【题目】如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A1B1C,连接AA1,若∠AA1B1=15°,则∠B的度数是( )
A. 75° B. 60° C. 50° D. 45°
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【题目】△ABC中,最小内角∠B=24°,若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形,如图为其中一种分割法,此时△ABC中的最大内角为90°,那么其它分割法中,△ABC中的最大内角度数为_____.
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【题目】在一次800米的长跑比赛中,甲、乙两人所跑的路程(米)与各自所用时间(秒)之间的函数图像分别为线段和折线,则下列说法不正确的是( )
A.甲的速度保持不变B.乙的平均速度比甲的平均速度大
C.在起跑后第180秒时,两人不相遇D.在起跑后第50秒时,乙在甲的前面
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