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在平面直角坐标系中,已知等腰梯形ABCD的三个顶点A(-2,0),B(6,0),精英家教网C(4,6),对角线AC与BD相交于点E.
(1)求E的坐标;
(2)若M是x轴上一动点,求MC+MD的最小值;
(3)在y轴正半轴上求点P,使以P、B、C为顶点的三角形为等腰三角形.
分析:(1)作EF⊥AB,根据已知,可得出OD=6,FB=4,OF=2,然后,根据相似,即可求出EF的长,即可得出点E的坐标;
(2)作点D关于x轴的对称点D′,则D′的坐标为(0,-6),根据两点间的距离公式,算出即可;
(3)设点P(0,y),y>0,分三种情况,①PC=BC;②PB=BC;③PB=PC;解答出即可;
解答:精英家教网解:(1)作EF⊥AB,
BF
OB
=
EF
OD

∵梯形ABCD是等腰梯形,
∴AE=BE,
∴在等腰三角形ABE中,AF=BF,
∵A(-2,0),B(6,0),C(4,6),
∴点D的坐标为(0,6),
∴OD=6,FB=4,OF=2,
4
6
=
EF
6

∴EF=4,
∴点E的坐标为(2,4);

(2)由题意可得,
点D关于x轴的对称点D′的坐标为(0,-6),
CD′与x轴的交点为M,
∴此时,MC+MD=CD′为最小值,
∴CD′=
(4)2+(6+6)2
=4
10


(3)设点P(0,y),y>0,
分三种情况,①PC=BC;
∴42+(6-y)2=22+62
解得,y=6±2
6

②PB=BC;
∴62+y2=22+62
解得,y=2,y=-2(舍去);
③PB=PC;
∴62+y2=42+(6-y)2
解得,y=
4
3

综上,点P的坐标为:(0,6+2
6
),(0,6-2
6
),(0,2),(0,
4
3
).
点评:本题主要考查了等腰梯形、等腰三角形、最短路线问题及坐标与图形的关系,锻炼了学生对于知识的综合运用能力和良好的空间想象能力.
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2
2

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(1)在图中画出所有符合要求的△A1B1C1
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0°(或360°的整数倍)
,k=
2

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