Question

【题目】如图在矩形中，，点为边上一点，，连接，. 动点以每秒1个单位的速度从点出发沿向终点运动，同时动点以每秒2个单位的速度从点出发沿向终点运动，过点作，交于点，连接、、，设运动时间为秒.

（1）求的长（用含的代数式表示）；

（2）求证：四边形为平行四边形；

（3）探索当为何值时，与以，，为顶点的三角形相似？

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或.

【解析】

（1）由推出，根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一般，可得到；

（2）由一组对边平行且相等可判定；

（3）由可得，由于两相似三角形的对应边不能确定，故分两种情况进行讨论：①当时，则，②当时，则.

（1）∵，

∴，

∵是直角三角形，

∴，

（2）∵动点以每秒2个单位的速度从点出发沿向点运动，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

（3）在直角三角形中， ，

，

∴.

∵，

∴.

分两种情况:

①当时，则，此时，即四边形是平行四边形，

∴，而，，

∴，解得；

②当时，则，

∴，即，

∵四边形是平行四边形，即，

又，

∴，解得

综上所述， 或.