Question

已知：如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB=2，则DE的长是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  5 -1

  2

• C、

  3

  2

• D、1

Answer 1

分析：设AC与EF交于点G，由于EF∥AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG=1；
易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE=FG，根据相交弦定理得BD•DC=DE•DF，而BD、DC的长易知，DF=1+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长．

解答：解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，则CM⊥EF．
根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，即DG=

1

2

AB=1；
易知△CGD是等边三角形，而CM⊥DG，则DM=MG；
由于OM⊥EF，由垂径定理得：EM=MF，故DE=GF．
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD•DC=DE•DF，即DE×（DE+1）=1；
解得DE=

5 -1

2

（负值舍去）．
故选B．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得DE、GF的数量关系是解答此题的关键．