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在数学“综合与实践”课中,陈老师要求同学们制作一张直角梯形纸片ABCD,要求梯形的上底AD=3cm,下底BC=5cm.探索:当直角梯形ABCD的高AB是多少厘米时,将该梯形沿某一直线剪成两部分后,能拼成一个既不重叠又无空隙的特殊几何图形.
(1)如图1,小颖过腰CD的中点E作EF⊥BC于F,沿EF将梯形剪切后,拼成正方形.求小颖所制作的直角梯形的高AB是多少厘米?
(2)如图2,小亮过点B作BM⊥CD于M,沿BM将梯形剪切后,拼成直角三角形.请在答题卡的相应位置补全拼后的一种直角三角形草图,并求小亮所制作的直角梯形的高AB是多少厘米?
(3)探索当直角梯形的高AB是多少厘米时,将该梯形沿某一直线剪成两部分后,能拼成一个不是正方形的菱形.请在答题卡的相应位置画出两种不同剪切、拼图方法的草图,并直接写出原直角梯形的高AB.

【答案】分析:(1)由拼图可知△DGE≌△CFE,若四边形ABFG是正方形,设DG为x,AG=BF=AB,即3+x=5-x,求出x的值,由AB=AG即可得出结论;
(2)按如图2方式拼接,由拼图可知△GAD≌△BMC,由勾股定理可求出GA的长,由相似三角形的判定定理得出△GAD∽△GMB,故可得出,即,求出GB的长,进而可得出AB的长;
(3)按如图4方式拼接成一个菱形,过点D作DM⊥BC于点M,则AB=DM,由菱形的性质得出CD的长,在Rt△DMC中利用勾股定理可求出DM的长,故可得出结论;按如图5方式拼接成一个菱形,由AD=3cm,BC=5cm可设BM=x,则CM=5-x,ND=MN=3+x,四边形NMCD是菱形可求出x的值,在Rt△OBM中利用勾股定理可求出OB的长,进而可得出AB的长.
解答:解:(1)∵由拼图可知△DGE≌△CFE,由拼图得,若四边形ABFG是正方形,设DG为x,
∴AG=BF=AB,即3+x=5-x,
解得:x=1,
∴AB=AG=3+1=4;                   

(2)拼法1:按如图2方式拼接,由拼图可知△GAD≌△BMC,
解法一:∵GD=BC=5,由勾股定理可得:
∴BM=AG=4,
∵∠GAD=∠GMB=90°,∠G=∠G,
∴△GAD∽△GMB,
,即
解得:

解法二:∵CM=AD=3,由勾股定理可得:
作DE⊥BC于E,得EC=2,
∵∠BMC=∠DEC=90°,
∴tanC=

∴AB=DE=
拼法2:按如图3方式拼接,
由拼图可知,△HMD≌△BMC,
∴∠HMD+∠BMD=180°,∠HDM+∠ADC=180°,
∴点H是AD与BM延长线的交点,
则HD=BC=5,HM=BM,
∵∠HMD=∠A=90°,
由cosH==,即,解得:
∴BH=2HM=4
由勾股定理可得:

(3)按如图4方式拼接成一个菱形,过点D作DM⊥BC于点M,则AB=DM,
则AD=3,BC=5,四边形GHCF是菱形,
则CH=CF=8,
则MC=CB-AD=5-3=2,DC=2CF=16,
在Rt△DMC中,DM===6,即梯形高AB=6cm;             
按如图5方式拼接成一个菱形,
∵AD=3,BC=5,
∴设BM=x,则CM=5-x,ND=MN=3+x,
∵四边形NMCD是菱形,
∴CM=ND=MN,即5-x=3+x,解得x=1,
∴CM=MN=4,
∴OM=MN=2,
在Rt△OBM中,OB===
∴AB=2OB=2(cm),即梯形高为2cm.
点评:本题考查的是相似三角形综合题,涉及到菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角梯形的性质等相关知识,涉及面较广,难度较大.
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(2)如图2,小亮过点B作BM⊥CD于M,沿BM将梯形剪切后,拼成直角三角形.请在答题卡的相应位置补全拼后的一种直角三角形草图,并求小亮所制作的直角梯形的高AB是多少厘米?
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