Question

【题目】如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．

（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；

（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　．

Answer 1

【答案】（1）AP=；（2）＜AP＜或AP=5．

【解析】

（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，由⊙P与边CD相切于点F，根据已知可推导得出△DPF∽△DAC，根据相似三角形对应边成比例即可求得AP长；

（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，利用面积法求出PG=，然后分两种情况①⊙P与边AD、CD分别有两个公共点，②⊙P过点A、C、D三点，分别讨论即可得.

（1）如图2所示，连接PF，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，

设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，

∵⊙P与边CD相切于点F，

∴PF⊥CD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，

∴AC⊥CD，

∴AC∥PF，

∴△DPF∽△DAC，

∴，

∴，

∴x=，即AP=；

（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，

SABCD=×6×8×2=10PG，

PG=，

①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，

②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，

此时AP=5，

综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP=5．

故答案为：＜AP＜或AP=5．