Question

【题目】如图，△ABC中，BE是它的角平分线，∠C＝90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知∠A＝30°，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OE．根据OB＝OE得到∠OBE＝∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB＝∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C＝90°得到∠AEO＝∠C＝90°证得结论AC是⊙O的切线．

（2）连接OF，利用S阴影部分＝S梯形OECF﹣S扇形EOF求解即可．

解：（1）连接OE．

∵OB＝OE

∴∠OBE＝∠OEB

∵BE是∠ABC的角平分线

∴∠OBE＝∠EBC

∴∠OEB＝∠EBC

∴OE∥BC

∵∠C＝90°

∴∠AEO＝∠C＝90°

∴AC是⊙O的切线；

（2）连接OF．

∵∠A＝30°，⊙O的半径为4，

∴AO＝2OE＝8，

∴AE＝4 ，∠AOE＝60°，

∴AB＝12，

∴BC＝AB＝6，AC＝6，

∴CE＝AC﹣AE＝2．

∵OB＝OF，∠ABC＝60°，

∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB＝60°，CF＝6﹣4＝2，

∴∠EOF＝60°．

∴S梯形OECF＝＝6．

S扇形EOF＝ ＝，

∴S阴影部分＝S梯形OECF﹣S扇形EOF＝