Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α（30°＜α＜180°），得到△AO′B′．
（1）当α=60°时，判断点B是否在直线O′B′上，并说明理由；
（2）连接OO′，设OO′与AB交于点D，当α为何值时，四边形ADO′B′是平行四边形？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解；如图1中，

∵一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，

∴A（ ，0），B（0，1），

∴tan∠BAO= ，

∴∠BAO=30°，AB=2OB=2，

∵旋转角为60°，

∴B′（ ，2 ），O′（ ， ），

设直线O′B′解析式为y=kx+b，

∴， ，解得 ，

∴直线O′B′的解析式为y= x+1，

∵x=0时，y=1，

∴点B（0，1）在直线O′B′上

（2）解；如图2中，当α=120°时，四边形ADO′B′是平行四边形．

理由：∵AO=AO′，∠OAO′=120°，∠BAO=30°，

∴∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，

∴AD∥O′B′，DO′∥AB′，

∴四边形ADO′B′是平行四边形

【解析】（1）首先证明∠BAO=30°，再求出直线O′B′的解析式即可解决问题．（2）如图2中，当α=120°时，四边形ADO′B′是平行四边形．只要证明∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，即可解决问题．
【考点精析】掌握平行四边形的判定是解答本题的根本，需要知道两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．