Question

19．如图1，等边△ABC为⊙O的内接三角形，点G和点F在⊙O上且位于点A的两侧，连接BF、CG交于点E，且BF=CG
（1）求证：∠BEC=120°；
（2）如图2，取BC边中点D，连接AE、DE，求证：AE=2DE；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作⊙O的切线交BF的延长线于点H，若AE=AH=4，请求出⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠ACG=∠CBF，可得∠GEC=∠FBC+∠ECB=∠ACE+∠ECB=60°，即可推出∠BEC=180°-∠GEB=120°．
（2）如图2中，连接BG、AG、CF、AF、GF，GF与AE交于点M．首先证明四边形AGEF是平行四边形，再证明△MFE≌△DCE即可解决问题．
（3）如图3中，在图（2）的基础上连接OC.2△AHB∽△DEC，推出$\frac{AH}{DE}$=$\frac{BH}{EC}$=2，设BE=x，EC=EF=y，DBD=a，推出BH=2EC，推出FH=y-x，由△HAF∽△HBA，推出AH²=HF•HB，可得16=2y（y-x）   ①，由△ECD∽△BCE，推出EC²=CD•CB，可得y²=a•2a，推出a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，由$\frac{ED}{BE}$=$\frac{CE}{BC}$，可得$\frac{2}{x}$=$\frac{y}{\sqrt{2}y}$，推出x=2$\sqrt{2}$代入①中解得y=$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$（负根已经舍弃），可得CD=a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$）=1+$\sqrt{5}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵BF=CG，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{CG}$
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴$\widehat{AG}$=$\widehat{CF}$，
∴∠ACG=∠CBF，
∵∠GEC=∠FBC+∠ECB=∠ACE+∠ECB=60°，
∴∠BEC=180°-∠GEB=120°．

（2）证明：如图2中，连接BG、AG、CF、AF、GF，GF与AE交于点M．

∵∠BEC=120°，
∴∠FEC=∠GEB=60°，
∵∠BGE=∠BAC=60°，∠EFC=∠BAC=60°，
∴△BGE，△EFC都是等边三角形，
∵∠AFB=∠ACB=60°，
∴∠GEB=∠AFB=60°，
∴GE∥AF，同理BF∥AG，
∴四边形AGEF是平行四边形，
∴GM=MF，AM=ME，
∵∠GBF=∠BAC=60°，
∴$\widehat{FG}$=$\widehat{BC}$，
∵BD=CD，
∴MF=CD，
在△MFE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{MF=CD}\\{∠MFE=∠ECD}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△MFE≌△DCE，
∴ME=DE，
∴AE=2DE．
（3）解：如图3中，在图（2）的基础上连接OC．

由（2）可知，△MFE≌△DCE，
∴∠FEM=∠CED，
∵AH=AE=4，
∴∠H=∠AEH，DE=2，
∴∠H=∠CED，
∵BG=GE=AF，
∴$\widehat{BG}$=$\widehat{AF}$，
∴∠ECD=∠ABH，
∴△AHB∽△DEC，
∴$\frac{AH}{DE}$=$\frac{BH}{EC}$=2，设BE=x，EC=EF=y，DBD=a，
∴BH=2EC，
∴FH=y-x，
∵∠HAF=∠ABH，∠H=∠H，
∴△HAF∽△HBA，
∴AH²=HF•HB，
∴16=2y（y-x）   ①
∵BD=CD，∴AD⊥BC，AD经过点O，
∵AH是切线，
∴AH⊥AD，
∴AH∥BC，
∴∠H=∠CBE，
∴∠CED=∠CBE，∵∠ECD=∠ECB，
∴△ECD∽△BCE，
∴EC²=CD•CB，
∴y²=a•2a，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，
∵$\frac{ED}{BE}$=$\frac{CE}{BC}$，
∴$\frac{2}{x}$=$\frac{y}{\sqrt{2}y}$，
∴x=2$\sqrt{2}$代入①中解得y=$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$（负根已经舍弃），
∴CD=a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$）=1+$\sqrt{5}$，
在Rt△COD中，∵∠OCD=30°，
∴cos30°=$\frac{CD}{OC}$，
∴OC=$\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程，属于中考压轴题．