分析 把an通分并利用同分母分式的加法法则计算,开方得到$\sqrt{{a}_{n}}$,根据Sn=$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$,确定出S2与Sn即可.
解答 解:∵an=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{(n+1)^{2}}$=$\frac{{n}^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}(n+1)^{2}}$=$\frac{[n(n+1)+1]^{2}}{[n(n+1)]^{2}}$,
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}$=1+$\frac{1}{n(n+1)}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,
∴S2=$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$=1+1-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{3}$;
则Sn=$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n+(1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$)=n+1-$\frac{1}{n+1}$.
故答案为:$\frac{8}{3}$;n+1-$\frac{1}{n+1}$
点评 此题考查了算术平方根,根据题意表示出$\sqrt{{a}_{n}}$是解本题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $-\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{5}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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