Question

已知：AC是⊙O的直径，点A、B、C、O在⊙O₁上，OA=2．建立如图所示的直角坐标系．∠ACO=∠ACB=60度．
（1）求点B关于x轴对称的点D的坐标；
（2）求经过三点A、B、O的二次函数的解析式；
（3）该抛物线上是否存在点P，使四边形PABO为梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图：∵点A、B、C、D在⊙O上，且∠ACO=∠ACB=60°，
∴∠BOA=∠ABO=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∵OA=2，
过点B作BD⊥OA于点D，
∴OD=

1

2

OA-1，BD=OB•sin60°=

3

，
∴B（1，

3

），
∴点B关于x轴对称的点D的坐标为（1，-

3

）；

（2）设经过A（2，0）、B（1，

3

）、O（0，0）的二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∴

0=c 0=4a+2b+c 3 =a+b+c

，

a=- 3 b=2 3 c=0

，
∴y=-

3

x2+2

3

；

（3）存在点P，使四边形PABO为梯形，
∵△BOA是等边三角形，
点D是点B关于x轴的对称点，
∴OA、BD相互垂直平分，
∴四边形DABO是菱形，
∴AD∥BO，
∴所求点P必在直线AD上，
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠O），
∴

0=2k+b - 3 =K+b

，
即

k= 3 b=-2 3

，
∴y=

3

x-2

3

，
联立

y= 3 x-2 3 y=- 3 x2+2 3 x

，
解得

x1=2 y1=0

x2=-1 y1=-3 3

，
当

x1=2 y1=0

时，就是点A（2，0）；
当

x2=-1 y1=-3 3

时，
即为所求点P（-1，-3

3

），
过点P作PG⊥x轴于G，则|PG|=3

3

，
∴PA=6而BO=2，
在四边形PABO中，BO∥AP且BO≠AP，
∴四边形PABO不是平行四边形，
∴OP与AB不平行，
∴四边形PABO为梯形，
同理，在抛物线上可求得另一点P（3，-3

3

），也能使四边形PABO为梯形．
故存在点P（-1，-3

3

），或P（3，-3

3

），使四边形PABO为梯形．