Question

已知在△ABC中，AB=AC=6，且△ABC的面积是12．
（1）①在图1中，求BD的长．②在图2中，P是BC的中点，求PM+PN．
（2）图3中，对于BC边上任意一点P，请对点P到两腰距离和（PM+PN）与腰上高（CQ）的大小关系提出猜想，并加以证明．
（3）如图4，在矩形ABCD中，P是CD边任意一点，AD=3，CD=4，请直接写出P到BD、AC的距离和PM+PN．

Answer 1

分析：（1）①根据三角形的面积公式列式即可求解，②连接AP，把△ABC分成两个三角形，△APB与△APC，然后利用△ABC的面积的两种不同表示即可得解；
（2）连接AP，把△ABC分成两个三角形，△APB与△APC，然后利用△ABC的面积=△APB的面积+△APC的面积，又AB=AC，整理即可得解；
（3）连接OP，过点D作DE⊥AC，垂足为E，根据（2）中的结论PM+PN=DE，利用勾股定理求出AC的长度，再利用△ACD的面积求出DE的长度，即可得解．

解答：解：（1）①△ABC的面积=

1

2

×AC×BD，
∴

1

2

×6×BD=12，
解得BD=4，
②连接AP，则△ABC的面积=△APB的面积+△APC的面积，
即

1

2

×AC×BD=

1

2

×AB×PM+

1

2

×AC×PN，
∵AB=AC，
∴BD=PM+PN，
∴PM+PN=4；

（2）PM+PN=CQ．
理由如下：连接AP，则△ABC被分成△APB与△APC，
∴△ABC的面积=△APB的面积+△APC的面积，
即

1

2

×AC×CQ=

1

2

×AB×PM+

1

2

×AC×PN，
∵AB=AC，
∴PM+PN=CQ；

（3）过D作DE⊥AC，垂足为E，根据（2）的结论得，PM+PN=DE，
∵AD=3，CD=4，
∴AC=

AD2+CD2

=

32+42

=5，
S_△ABC=

1

2

×AD×CD=

1

2

×AC×DE，
即

1

2

×3×4=

1

2

×5×DE，
解得DE=

12

5

，
∴PM+PN=

12

5

．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，利用三角形的面积公式列出算式并整理是解题的关键．