Question

7．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$时，有$\frac{AO}{AD}$=$\frac{2}{3}$
（2）当$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{3}$时，有$\frac{AO}{AD}$=$\frac{1}{2}$；
（3）当$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{4}$，有$\frac{AO}{AD}$=$\frac{2}{5}$
在图4中，当$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{n}$时，请你猜想$\frac{AO}{AD}$的值，用n表示的一般结论$\frac{2}{n+2}$（并给出证明）

Answer 1

分析 （1）过D作DF∥BE，根据平行线分线段成比例定理，可得出AO：AD=AE：AF，由已知$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，从而得出AE：EF=2：1，根据$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AO}{AD}$，即可得出答案；
（2）过D作DF∥BE，根据平行线分线段成比例定理，可得出AO：AD=AE：AF，由已知$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{3}$，从而得出AE：EF的值，根据$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AO}{AD}$，即可得出答案；
（3）过D作DF∥BE，根据平行线分线段成比例定理，可得出AO：AD=AE：AF，由已知$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{4}$，从而得出AE：EF的值，根据$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AO}{AD}$，即可得出答案；
过D作DF∥BE，根据平行线分线段成比例定理，可得出AO：AD=AE：AF，由已知 $\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{n}$，从而得出AE：EF=2：n，根据 $\frac{AE}{EF}$=$\frac{AO}{AD}$，即可得出答案．

解答 解：过D作DF∥BE，如图所示；
∴AO：AD=AE：AF，
∵D为BC边的中点，
∴CF=EF=$\frac{1}{2}$EC，
（1）∵$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{2}{3}$；
故答案为；$\frac{2}{3}$
（2）∵$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{AE+2EF}$=$\frac{1}{3}$，
∴2AE=2EF，
∴$\frac{AE}{EF}$=1，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{AE}{EF}$=1，
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为；$\frac{1}{2}$；
（3）∵$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AE}{AE+2EF}$=$\frac{1}{4}$，
∴3AE=2EF，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AO}{OD}$=$\frac{AE}{EF}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{2}{5}$；
故答案为：$\frac{2}{5}$
（4）∵$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{n+1}$，
即AE：（AE+2EF）=1：（1+n），
∴AE+2EF=AE+AEn，
∴AEn=2EF，
∴AE：EF=2：n．
∵$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AO}{OD}$=$\frac{2}{n}$，
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{2}{n+2}$；
故答案为：$\frac{2}{n+2}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，本题辅助线的作法是解题的关键．