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    如图，矩形木板ABCD中，长AB=a米，宽BC=b米，要从矩形木板 ABCD上裁下两个相同的半圆面，有如下两种裁法；如图①，点O1、O2在AC上，⊙O1与⊙O2分别与矩形ABCD两边相切；如图②，点O1，O2分别在AB，CD上，⊙O1与⊙O2相切，⊙O1，⊙O2分别与AD，BC相切．
    （1）求图①中半圆的半径r的长（用a，b的代数式表示）；
    （2）求图②中半圆的半径R的长（用a，b的代数式表示）；
    （3）如果用长2米，宽1米和长3米，宽1米的两块矩形木板各做一个圆桌面，每块木板都有上述两种裁法．请问，对这两块木板分别应当采用哪一种裁法，做出的圆桌面较大．

    【答案】分析：（1）连接O1E，O1F，则四边形DEO1F是正方形，设圆的半径是r，则O1E=O1F=r，则=，=，两式相加即可得到一个关于r的方程，从而求解；
    （2）连接O1O2，作O2F⊥AB于点F，设圆的半径是R，则O2C=BF=R，在直角△O1O2F中，利用勾股定理即可得到关于R的方程，从而求解；
    （3）把长宽的值，分别代入（1）和（2）求得的代数式，求值，然后比较即可．
    解答：解：（1）连接O1E，O1F，则四边形DEO1F是正方形，设圆的半径是r，则O1E=O1F=r．
    ∵O1F∥AD，
    ∴=，即=，
    同理，=，
    两式相加得：+=1，即+=1，解得：r=；

    （2）连接O1O2，作O2F⊥AB于点F，设圆的半径是R，则O2C=BF=R，
    在直角△O1O2F中，O1O22=O2F2+O1F2，则（2R）2=b2+（a-2R）2，
    解得：R=；

    （3）当长2米，宽1米时，利用第一种作法，半径是：==米，利用第二种所得半径是：=米，
    故采用第二种方法，做出的圆桌面较大；
    长3米，宽1米，利用第一种作法，半径是：==米，利用第二种所得半径是：=米．
    故采用第二种方法，做出的圆桌面较大．
    点评：本题考查了平分线分线段成比例定理，勾股定理的综合应用，利用了方程的思想．
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