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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线yx2+mx+n经过点B61),C50),且与y轴交于点A

1)求抛物线的表达式及点A的坐标;

2)点Py轴右侧抛物线上的一点,过点PPQOA,交线段OA的延长线于点Q,如果∠PAB45°.求证:△PQA∽△ACB

3)若点F是线段AB(不包含端点)上的一点,且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上,求FF′的长.

【答案】1yx2x+5,点A坐标为(05);(2)详见解析;(3

【解析】

1)将点BC代入抛物线解析式yx2+mx+n即可;

2)先证△ABC为直角三角形,再证∠QAP+CAB90°,又因∠AQP=∠ACB90°,即可证△PQA∽△ACB

3)做点B关于AC的对称点B',求出BB'的坐标,直线AB'的解析式,即可求出点F'的坐标,接着求直线FF'的解析式,求出其与AB的交点即可.

解:(1)将B61),C50)代入抛物线解析式yx2+mx+n

解得,m=﹣n5

则抛物线的解析式为:yx2x+5,点A坐标为(05);

2)∵ACBCAB

AC2+BC2AB2

∴△ABC为直角三角形,且∠ACB90°,

当∠PAB45°时,点P只能在点B右侧,过点PPQy 轴于点Q

∴∠QAB+OAB180°﹣∠PAB135°,

∴∠QAP+CAB135°﹣∠OAC90°,

∵∠QAP+QPA90°,∴∠QPA=∠CAB

又∵∠AQP=∠ACB90°,∴△PQA∽△ACB

3)做点B关于AC的对称点B',则AF'B'三点共线,

由于ACBC,根据对称性知点B'4,﹣1),

B'4,﹣1)代入直线ykx+5

k=﹣,∴yAB'=﹣x+5

联立解得,x1x20(舍去),

F',﹣),

B61),B'4,﹣1)代入直线ymx+n

得,解得,yBB'x5

由题意知,kFF'KBB',∴设yFF'x+b

将点F',﹣)代入,得,b=﹣

yFF'x

联立解得,

F),

FF'

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创客课程

频数

频率

“3D”打印

36

0.45

数学编程

0.25

智能机器人

16

b

陶艺制作

8

合计

a

1

请根据图表中提供的信息回答下列问题:

(1)统计表中的a=______b=______

(2)“陶艺制作对应扇形的圆心角为______

(3)根据调查结果,请你估计该校300名学生中最喜欢智能机器人创客课程的人数;

(4)学校为开设这四门课程,预计每生ABCD四科投资比为4367,若“3D打印课程每人投资200元,求学校为开设创客课程,需为学生人均投入多少钱?

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