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4.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A、B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,相交于两点M、N;②联结MN,直线MN交△ABC的边AC与点D,联结BD.如果此时测得∠A=34°,BC=CD.求∠ABC与∠C的度数.

分析 利用基本作图可判断MN垂直平分AB,则DA=DB,根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得∠CDB=68°,再由CB=CD得到∠CBD=∠CDB=68°,所以∠ABC=∠DBA+∠CBD=102°,然后利用三角形内角和定理计算∠C的度数.

解答 解:由作法得MN垂直平分AB,则DA=DB,
∴∠DBA=∠A=34°,
∴∠CDB=∠DBA+∠A=68°,
∵CB=CD,
∴∠CBD=∠CDB=68°,
∴∠ABC=∠DBA+∠CBD=34°+68°=102°,
∠C=180°-68°-68°=44°.

点评 本题考查了作图-基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).利用等腰三角形的性质和三角形内角和进行角度计算.

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