Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC-CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/秒，点Q的速度是2cm/秒．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图1（1），当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出t值，如图1（2）当∠APQ=90°时，就有△APQ∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出其t值；
（2）如图2，当△BPQ∽△BAC时根据相似三角形的性质就有

BP

AB

=

BQ

BC

，再根据已知条件就可以求出t的值．

解答：解：（1）如图1（1），当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=

36+64

=10．
BP=t，AQ=2t，
∴PA=10-t，
∴

2t

8

=

10-t

10

，
∴t=

20

7

，
如图1（2），当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB，
∴

AQ

AB

=

AP

AC

，
∴

2t

10

=

10-t

8

，
t=

50

13

．
综上所述，t=

20

7

或

50

13

时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）如图2，当△BPQ∽△BAC时，

BP

AB

=

BQ

BC

．
∵BQ=14-2t，BP=t，
∴

t

10

=

14-2t

6

，
t=

70

13

，
∴t=

70

13

时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：本题是一道关于懂点问题的相似三角形的综合试题，考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答本题时要求出时间t而求证三角形相似是关键．