Question

如图，已知P、Q是△ABC的BC边上的两点，且BP=AP=AQ=QC，∠PAQ=60°．
（1）求证：AB=AC；
（2）求∠BAC的度数．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：（1）根据等边对等角可以证得∠APQ=∠AQP，则∠APB=∠AQC，利用SAS即可证得△APB≌△AQC，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）首先证明△APQ是等边三角形，然后根据等腰三角形的性质即可求解．

解答：（1）证明：∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APB=∠AQC，
则在△APB和△AQC中，

AP=AQ ∠APB=∠AQC BP=QC

，
∴△APB≌△AQC，
∴AB=AC；

（2）解：∵AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°．
∵BP=QC=AP=AQ
∴∠B=∠BAP=30°，∠C=∠CAQ=30°
∴∠BAC=120°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质：等边对等角．解决的关键是能够认识到△APQ是等边三角形，找出题目中的基本图形，探究题目中的结论是解题的关键．