分析 先将A(x1,x1),B(x2,x2)代入y=x2+bx-3得到x12+(b-1)x1-3=0,x22+(b-1)x2+1=0,根据方程的解的定义可知x1,x2是一元二次方程ax2+(b-1)x-3=0的两个根,由根与系数的关系可得x1+x2=1-b,x1•x2=-3,则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2=16,整理得出b2-2b-3=0,解方程得出b的值.
解答 解:∵二次函数y=x2+bx-3的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1,x1),B(x2,x2),
∴x1=x12+bx1-3,x2=ax22+bx2-3,
∴ax12+(b-1)x1-3=0,ax22+(b-1)x2-3=0,
∴x1,x2是一元二次方程ax2+(b-1)x-3=0的两个不等实根,
∴x1+x2=1-b,x1•x2=-3,
∵|x1-x2|=4
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2=(1-b)2-4×(-3)=16,
∴b2-2b-3=0,
∴b1=3,b2=-1.
点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程根与系数的关系,图象上点的坐标符合解析式是解题的关键.
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