【题目】在直角三角形中,如果已知2个元素(其中至少有一个是边),那么就可以求出其余的3个未知元素.对于任意三角形,我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢?思考并解答下列问题:
(1)观察下列4幅图,根据图中已知元素,可以求出其余未知元素的三角形是 .
(2)如图,在△ABC中,已知∠B=40°,BC=18,AB=15,请求出AC的长度(答案保留根号).(参考数据:sin40°≈0.6,cos40°≈0.8,tan40°≈0.75)
【答案】(1)②,③;(2)
【解析】
(1)①没有已知边,求不出边长,不合题意;②、③作出相应的垂线,根据锐角三角函数定义及勾股定理即可求出未知的元素,符合题意;④只知道一个角与一条边,求不出其他的角,不合题意,进而得出正确的选项;
(2)过A作AD垂直于BC,在直角三角形ABD中,由AB的长,利用锐角三角函数定义分别求出AD及BD的长,再由BCBD求出DC的长,在直角三角形ADC中,利用勾股定理即可求出AC的长.
解:(1)①没有已知边,求不出边长,不合题意;
②、③作出相应的垂线,根据锐角三角函数定义及勾股定理即可求出未知的元素,符合题意;④只知道一个角与一条边,求不出其他的角,不合题意,
故可以求出其余未知元素的三角形是②,③;
(2)如图,作AD⊥BC,D为垂足,
在Rt△ABD中,
∵sinB=,cosB=,AB=15,
∴AD=ABsinB=15×0.6=9,BD=ABcosB=15×0.8=12,
∵BC=18,
∴CD=BCBD=1812=6,
则在Rt△ADC中,根据勾股定理得:AC=.
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【题目】等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,两边分别交BC、CD于M、N.
(1)如图①,作AE⊥AN交CB的延长线于E,求证:△ABE≌△AND;
(2)如图②,若M、N分别在边CB、DC所在的直线上时.
①求证:BM+MN=DN;②如图③,作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点,若MN=10,CM=8,求AP的长.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连结CE,DF,下列说法不正确的是
A. 四边形CEDF是平行四边形
B. 当时,四边形CEDF是矩形
C. 当时,四边形CEDF是菱形
D. 当时,四边形CEDF是菱形
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【题目】某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品,其中小笔记本每本5元,大笔记本每本7元,钢笔每支10元,购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍,共花费346元,若使购买的奖品总数最多,则这三种奖品中,大笔记本购买的数量是____本.
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【题目】如图1,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B右侧),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.
(1)如图1,连接AC、BC,若点P是直线AC上方抛物线上一动点,过点P作PE//BC交于点E,作PQ//y轴交AC于点Q,当△PQE周长最大时,若点M在y轴上,点N在x轴上,求PM+MNAN的最小值;
(2)如图2,点G为x轴正半轴上一点,且OG=OC,连接CG,过点作于点,将绕点顺时针旋转,记旋转中的为△,在旋转过程中,直线,分别与直线交于点,,△能否成为等腰三角形?若能请直接写出所有满足条件的的值;若不能,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A的坐标是(1,3),将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点A′,则点A′的坐标是( )
A. (-3,1) B. (3,-1) C. (-1,3) D. (1,-3)
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【题目】如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交边BC于点D,过点D作DE⊥AC交AC于点E,延长ED交AB的延长线于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=8,AE=6,求BF的长.
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【题目】折纸飞机是我们儿时快乐的回忆,现有一张长为290mm,宽为200mm的白纸,如图所示,以下面几个步骤折出纸飞机:(说明:第一步:白纸沿着EF折叠,AB边的对应边A′B′与边CD平行,将它们的距离记为x;第二步:将EM,MF分别沿着MH,MG折叠,使EM与MF重合,从而获得边HG与A′B′的距离也为x),则PD=______mm.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数表达式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以O1为圆心,O1O为半径画半圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2,由弦P1O2和围成的弓形面积记为S1,以O2为圆心,O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3,由弦P2O3和围成的弓形面积记为S2,以O3为圆心,O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4,由弦P3O4和围成的弓形面积记为S3;…按此做法进行下去,其中S2018的面积为__________.
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