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已知:如图,过正方形ABCD的顶点A作一条直线,分别交BD、CD、BC的延长线于E、F、G.求证:
(1)∠DAF=∠DCE;
(2)CE与△CGF的外接圆⊙O相切.

【答案】分析:(1)由BD为正方形的对角线,根据正方形对角线的性质得到∠ADE与∠CDE相等都等于45°,然后由AD=DC,∠ADE=∠CDE,DE为公共边,利用“SSS”得到△ADE和△CDE全等,根据全等三角形的对应角相等得到∠DAE=∠DCE,即为∠DAF=∠DCE;
(2)由∠GCF为直角,得到三角形CGF为直角三角形,所以此三角形的外接圆的圆心为直角三角形斜边GF的中点,连接OC,根据半径OC=OF,根据等边对等角及对顶角相等得到∠OCF=∠OFC=∠AFD,根据三角形AED与三角形CFD全等,得到角DAF与角FCD相等,等量代换后得到角OCE为90°,根据切线的判断方法即可得到CE为圆O的切线.
解答:解:(1)∵BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠ADE=∠CDE=45°,
在△ADE和△CDE中,
AD=CD,∠ADE=∠CDE,DE=DE,
∴△ADE≌△CDE,
∴∠DAE=∠DCE,既∠ADF=∠DCE;

(2)∵∠GCF=90°,
∴△CGF是直角三角形,
∴△CGF的外接圆的圆心O为GF的中点,
连接OC,∵OC=OF,
∴∠OCF=∠OFC=∠AFD,
∵△ADE≌△CDE,
∴∠DAF=∠FCE,
∴∠OCF+∠FCE=∠AFD+∠DAF=90°,
∴∠OCE=90°,
∴CE与△CGF的外接圆⊙O相切.
点评:此题综合考查了正方形,圆的切线性质与判断,三角形外接圆的特点.证明切线的方法有两种:第一种有点连接证明证垂直;第二种无点过圆心作垂直证垂线段长等于圆的半径.
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