Question

已知：如图，过正方形ABCD的顶点A作一条直线，分别交BD、CD、BC的延长线于E、F、G．求证：
（1）∠DAF=∠DCE；
（2）CE与△CGF的外接圆⊙O相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BD为正方形的对角线，根据正方形对角线的性质得到∠ADE与∠CDE相等都等于45°，然后由AD=DC，∠ADE=∠CDE，DE为公共边，利用“SSS”得到△ADE和△CDE全等，根据全等三角形的对应角相等得到∠DAE=∠DCE，即为∠DAF=∠DCE；
（2）由∠GCF为直角，得到三角形CGF为直角三角形，所以此三角形的外接圆的圆心为直角三角形斜边GF的中点，连接OC，根据半径OC=OF，根据等边对等角及对顶角相等得到∠OCF=∠OFC=∠AFD，根据三角形AED与三角形CFD全等，得到角DAF与角FCD相等，等量代换后得到角OCE为90°，根据切线的判断方法即可得到CE为圆O的切线．
解答：解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
在△ADE和△CDE中，
AD=CD，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE，既∠ADF=∠DCE；

（2）∵∠GCF=90°，
∴△CGF是直角三角形，
∴△CGF的外接圆的圆心O为GF的中点，
连接OC，∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC=∠AFD，
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAF=∠FCE，
∴∠OCF+∠FCE=∠AFD+∠DAF=90°，
∴∠OCE=90°，
∴CE与△CGF的外接圆⊙O相切．
点评：此题综合考查了正方形，圆的切线性质与判断，三角形外接圆的特点．证明切线的方法有两种：第一种有点连接证明证垂直；第二种无点过圆心作垂直证垂线段长等于圆的半径．