Question

6．已知关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0（k是整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别是x₁，x₂（其中x₁＜x₂），
①用含k的式子表示x₁和x₂；
②设m=x₂-x₁-2，求mk的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明方程有两个不相等的实数根，只要证明△＞0即可．
（2）①利用因式分解法求出方程的根即可解决问题．
②把①中的x₁，x₂代入已知条件，即可解决问题．

解答 （1）证明：∵△=[-（4k+1）]²-4k（3k+3）=4k²-4k+1=（2k-1）²
∵k是整数，∴k$≠\frac{1}{2}$，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：①∵kx²-（4k+1）x+3k+3=0，
∴（x-3）[kx-（k+1）]=0，
∵x₁＜x₂
∴x₂=3，x₁=$\frac{k+1}{k}$．
②∵m=x₂-x₁-2，
∴m=3-$\frac{k+1}{k}$-2，
∴m=1-$\frac{k+1}{k}$，
∴mk=k-k-1=-1．

点评 本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．