Question

【题目】已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+(2﹣3a)x+3＝0．

(1)直线l：y＝mx+n交x轴于点A，交y轴于点B，其中m，n(m＜n)是此方程的两根，并且＝．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数y＝的图象上，求反比例函数y＝的解析式；

(2)在(1)成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ(00＜θ＜450)，得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数y＝的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为9﹣时，求θ的值．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣；(2)旋转角度θ为15°．

【解析】

(1)先利用求根公式求出两根的和与积，，再代入+=，可得到a＝2，则m＝1，n＝3，直线l：y＝x+3，这样就可得到坐标原点O关于直线l的对称点，代入反比例函数y＝，即可确定反比例函数y＝的解析式；

(2)延长PQ，AO′交于点G，设P(0，p)，则Q(﹣，p)．四边形APQO'的面积＝S△APG﹣S△QGO′＝9﹣，这样可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO＝60°，这样就可求出θ．

解：(1)∵m，n(m＜n)是此方程的两根，

∴m+n＝，mn＝．

∵+=，＝，

∴﹣＝，

∴a＝2，即可求得m＝1，n＝3．

∴y＝x+3，则A(﹣3，0)，B(0，3)，

∴△ABO为等腰直角三角形，

∴坐标原点O关于直线l的对称点O′的坐标为(﹣3，3)，把(﹣3，3)代入反比例函数y＝，得k＝﹣9，

所以反比例函数的解析式为y＝﹣；

(2)设点P的坐标为(0，p)，延长PQ和AO′交于点G．

∵PQ∥x轴，与反比例函数图象交于点Q，

∴四边形AOPG为矩形．

∴Q的坐标为(﹣，p)，

∴G(﹣3，P)，

当0°＜θ＜45°，即p＞3时，

∵GP＝3，GQ＝3﹣，GO′＝p﹣3，GA＝p，

∴S四边形APQO′＝S△APG﹣S△QGO′＝×p×3﹣×(3﹣)×(p﹣3)＝9﹣，

∴9﹣＝9﹣，

∴p＝．(合题意)

∴P(0，)．则AP＝6，OA＝3，

∴tan∠PAO＝＝，

∴∠PAO＝60°，∠θ＝60°﹣45°＝15°；

当θ＝45°时，直线l于y轴没有交点；

当45°＜θ＜90°，则p＜﹣3，

用同样的方法也可求得p＝，这与p＜﹣3相矛盾，舍去．

所以旋转角度θ为15°．