Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BD于P点，点A在y轴上，点C、D在x轴上．
（1）若BC=10，A（0，8），求点D的坐标；
（2）若BC=13

2

，AB+CD=34，求过B点的反比例函数的解析式；
（3）如图，在PD上有一点Q，连接CQ，过P作PE⊥CQ交CQ于S，交DC于E，在DC上取EF=DE，过F作FH⊥CQ交CQ于T，交PC于H，当Q在PD上运动时，（不与P、D重合），

PQ

PH

的值是否发生变化？若变化，求出变化范围；若不变，求出其值．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质知：AD=BC，在Rt△AOD中，已知AD，OA的长，可将OD的长求出，从而可知点D的坐标；
（2）作辅助线，作BH⊥DE于H，过B点作BE∥AC交x轴于点E，则四边形ABEC为平行四边形，AB=CE，BE=AC，由AC⊥BD，可得：BD⊥BE，故在Rt△BDE中，由斜边DE的长可知：BH的长，在Rt△BHC中，运用勾股定理可将CH的长求出，进而可将OH的长求出，知点B的坐标，从而可求出求过B点的反比例函数的解析式；
（3）作辅助线，过点D作DN∥PC交PE的延长线于点M，交HF的延长线于点N，过点M作MI∥EF交BN于点I，易证四边形EFIM和四边形MNHP是平行四边形，从而可证：△EDM≌△IMN，DM=MN，进而可证：△PDM≌△CPQ，DM=PQ=PH，故：

PQ

PH

=1，为定值．

解答：解：（1）在等腰梯形ABCD中，AD=BC=10
又∵A（0，8）
∴OA=8
∴OD=

102-82

=6
∴D（-6，0）

（2）作BH⊥DE于H，过B点作BE∥AC交x轴于点E，
∵AB∥CE，BE∥AC，
∴ABEC是平行四边形，
∴AB=CE，BE=AC，
又∵ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BE=BD，
而AC⊥BD，AB∥CE，
∴∠DPC=∠DBE=90°，
∵BH⊥DE，
∴H为DE的中点，即BH为直角三角形DBE斜边DE上的中线，
∴BH=

1

2

DE=

1

2

（DC+CE）=

1

2

（DC+AB）=

1

2

×34=17
∵BC=13

2

∴CH=

BC2-BH2

=7
∴OH=AB=CE=HE-HC=17-7=10
∴B（10，17）
∴过B点的反比例函数的解析式为：
y=

170

x

（3）过点D作DN∥PC交PE的延长线于点M，交HF的延长线于点N，过点M作MI∥EF交BN于点I
易证四边形EFIM和四边形MNHP是平行四边形
∴MI=EF=DE，MN=PH
又∵∠EDM=∠IMN，∠DEM=∠EFI=∠MIN
∴△EDM≌△IMN
∴DM=MN
∵AC⊥BD，DN∥PC，
∴∠PDM=∠CPQ=90°，∠DPM=∠QCP=90°-∠SPC
由（2）知：∠BDC=45°，而∠DPC=90°，
∴PD=PC
∴△PDM≌△CPQ
∴DM=PQ=PH
∴

PQ

PH

=1

点评：本题综合考查等腰梯形的性质，反比例函数关系式的求法，全等三角形的判定和勾股定理等知识点的综合应用．