分析 (1)如图1中,连接AF,在射线FP上截取FM=CG,连接AM、DM,先证明△AFM≌△DCG,再证明PD=PM即可.
(2)结论:PF=CG-PD.如图2中,连接AF,在射线FP上截取FM=CG,连接AM、DM,先证明△AFM≌△DCG,再证明PD=PM即可.
解答 (1)证明:如图1中,连接AF,在射线FP上截取FM=CG,连接AM、DM.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠B=∠BCD=∠DCG=90°,AD∥BC,
∵B、E关于AE对称,
∴AB=AF,∠B=∠AFE=∠AFM=90°,
∴∠AFM=∠DCG=90°,AF=DC,
在△AFM和△DCG中,
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DC}\\{∠AFM=∠DCG}\\{FM=CG}\end{array}\right.$,
∴△AFM≌△DCG,
∴∠DGC=∠AMF,AM=DG=AD,
∴∠ADM=∠AMD,
∵AD∥BG,
∴∠ADG+∠DGC=180°,
∵∠AMF+∠AMP=180°,
∴∠ADG=∠AMP,
∴∠PDM=∠PMD,
∴PD=PM,
∴PF=FM+PM=CG+PD.
(2)结论:PF=CG-PD.
证明:如图2中,连接AF,在射线FP上截取FM=CG,连接AM、DM.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠B=∠BCD=∠DCG=90°,AD∥BC,
∵B、E关于AE对称,
∴AB=AF,∠B=∠AFE=∠AFM=90°,
∴∠AFM=∠DCG=90°,AF=DC,
在△AFM和△DCG中,
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DC}\\{∠AFM=∠DCG}\\{FM=CG}\end{array}\right.$,
∴△AFM≌△DCG,
∴∠DGC=∠AMF,AM=DG=AD,
∴∠ADM=∠AMD,
∵∠ADP+∠CDG=90°,∠CDG+∠CGD=90°,
∴∠ADP=∠DGC=∠AMP,
∴∠PDM=∠PMD,
∴PD=PM,
∴PF=FM-PM=CG-PD.
点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造全等三角形,学会添加辅助线的方法截长补短法,属于中考常考题型.
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A. | 2 | B. | 3 | C. | $\frac{10}{3}$ | D. | $\frac{13}{3}$ |
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