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6.已知,如图,以△ABC的一边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于D、E,下面判断中:
①当△ABC为等边三角形时,△ODE是等边三角形;
②当△ODE是等边三角形,△ABC为等边三角形;
③当∠A=45°时,△ODE是直角三角形;
④当△ODE是直角三角形时,∠A=45°.
正确的结论有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

分析 ①由△ABC为等边三角形,可得∠B=∠C=60°.又由OB=OC=OD=OE,即可证得△OBD,△OEC均为等边三角形,继而证得△ODE是等边三角形;

解答 解:①∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°.
∵OB=OC=OD=OE,
∴△OBD,△OEC均为等边三角形.
∴∠BOD=∠COE=60°.
∴∠DOE=60°.
∵OD=OE,
∴△ODE为等边三角形,故①正确;
②当△ODE是等边三角形,∠A=60°,∠C≠60°,△ABC不是等边三角形,故②错误;
③连接CD,
∵BC是直径,
∴∠BDC=90°=∠ADC.
∵∠A=45°,
∴∠ACD=45°,
∴∠DOE=2∠DCE=90°,
即△ODE是直角三角形,故③正确;
④∵BC是直径,
∴∠BDC=90°=∠ADC.
∵∠ECD=$\frac{1}{2}$∠DOE=45°,
∴∠A=90°-∠ACD=45°,故④正确;
故选:C.

点评 本题考查了圆周角定定理,①②利用了等边三角形的判定,③④利用了圆周角定理:同弦所对的圆周角是圆心角的一半,直角三角形的性质.

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