Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D点，O是AB上一点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：BC与⊙O相切；
（3）当AD=2$\sqrt{3}$，∠CAD=30°时，求劣弧AD的长．

Answer 1

分析 （1）作AD的垂直平分线交AC于O，以AO为半径画圆O分别交AB、AC于点E、F，则⊙O即为所求；
（2）连结OD，得到OD=OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAD=∠ODA，等量代换得到∠ODA=∠CAD，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE=90°，根据三角形的内角和得到∠AOD=120°，根据三角函数的定义得到AE=$\frac{AD}{cos∠EAD}$=4，根据弧长个公式即可得到结论．

解答 （1）解：如图所示，

（2）证明：连结OD，则OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
即BC⊥OD，
∴BC与⊙O相切；

（3）解：连接DE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，在
Rt△ADE中，
AE=$\frac{AD}{cos∠EAD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴⊙O的半径=2，
∴劣弧AD的长=$\frac{120•π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，平行线的判定，基本作图，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．