Question

如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为

15

度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；
（3）当0°＜α＜45°，连接BD，利用图4探究∠BDE+∠CAE+∠DBC的度数是否发生变化，并给出你的证明．

Answer 1

分析：（1）根据AD∥BC，再根据三角板的度数即可求出α的度数；
（2）要分5种情况进行讨论，分别画出图形，再分别计算出度数即可；
（3）先设BD分别交AC、AE于点M、N，在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，再根据∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，得出∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，然后根据∠C=30°，∠E=45°，即可得出∠BDE+∠CAE+∠DBC的度数．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠FGC=∠D=90°，
∵∠C=30°，
∴∠AFD=∠CFG=60°，
∴∠DAF=30°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAE=15°，
∴当α为 15度时，AD∥BC；

（2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°；


（3）当0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°，保持不变；
理由如下：
设BD分别交AC、AE于点M、N，
在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，
∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，
∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，
∵∠C=30°，∠E=45°，
∴∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°；

点评：本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．