Question

（1998•广东）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，D是弧AC上任一点，过C作CE∥DA交⊙O于点E，BE、DA的延长线相交于点F，连接BD交AC于点G．
求证：
（1）△BDF是正三角形；
（2）BC²=BG•BF．

Answer 1

分析：（1）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到内角为60度，再利用同号所对的圆周角相等及两直线平行同位角相等得到三角形BFD中两个角为60度，即可判定出三角形BDF为等边三角形；
（2）由两对角相等的两三角形相似得到三角形ABG与三角形ABD相似，由相似得比例，等量代换即可得证．

解答：证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠BAC与∠BEC都对

BC

，∠ACB与∠D都对

AB

，
∴∠BAC=∠BEC=∠ACB=∠D=60°，
∵CE∥DA，
∴∠F=∠BEC=∠D=60°，
∴△BDF为等边三角形；

（2）∵∠BAG=∠D=60°，∠ABG=∠DBA，
∴△ABG∽△DBA，
∴

AB

DB

=

BG

BA

，即AB²=BG•BD，
∵BC=AB，BF=BD，
∴BC²=BG•BF．

点评：此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．