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11.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2$\sqrt{2}$,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,下列结论:①△DFE是等腰直角三角形;②四边形CEDF的周长不变;③点C到线段EF的最大距离为1.其中正确的结论有①③.(填写所有正确结论的序号)

分析 ①作常规辅助线连接CD,由SAS定理可证△CDF和△ADE全等,从而可证∠EDF=90°,DE=DF.所以△DFE是等腰直角三角形;
②当E、F分别为AC、BC中点时,EF取最小值,得到EF的值是变化的,DE和DF也是变化的,于是四边形CEDF的周长变,不正确,
③△DEF是等腰直角三角形,$\sqrt{2}$DE=EF,当DF与BC垂直,即DF最小时,FE取最小值2,此时点C到线段EF的最大距离是1.

解答 解:①连接CD;
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB;
∵AE=CF,
∴△ADE≌△CDF(SAS);
∴ED=DF,∠CDF=∠EDA;
∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°,
∴△DFE是等腰直角三角形.
∴①正确;
②当E、F分别为AC、BC中点时,EF取最小值,
∴EF的值是变化的,
∴DE和DF也是变化的,
∴四边形CEDF的周长变,
∴②不正确,
③△DEF是等腰直角三角形,$\sqrt{2}$DE=EF,
当EF∥AB时,∵AE=CF,
∴E,F分别是AC,BC的中点,故EF是△ABC的中位线,
∴EF取最小值$\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2}{+(\sqrt{2})}^{2}}$=2,
∵CE=CF=$\sqrt{2}$,
∴此时点C到线段EF的最大距离=$\frac{1}{2}$EF=1,
∴③正确,
故答案为:①③

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识,找到EF∥BC时取最小值是解题关键.

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