Question

11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有①③．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
②当E、F分别为AC、BC中点时，EF取最小值，得到EF的值是变化的，DE和DF也是变化的，于是四边形CEDF的周长变，不正确，
③△DEF是等腰直角三角形，$\sqrt{2}$DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离是1．

解答 解：①连接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．
∴①正确；
②当E、F分别为AC、BC中点时，EF取最小值，
∴EF的值是变化的，
∴DE和DF也是变化的，
∴四边形CEDF的周长变，
∴②不正确，
③△DEF是等腰直角三角形，$\sqrt{2}$DE=EF，
当EF∥AB时，∵AE=CF，
∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，
∴EF取最小值$\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}}$=2，
∵CE=CF=$\sqrt{2}$，
∴此时点C到线段EF的最大距离=$\frac{1}{2}$EF=1，
∴③正确，
故答案为：①③

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，找到EF∥BC时取最小值是解题关键．