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在一个三位数的百位数字与十位数字之间插入0,1,2,…,9中的一个数码得到的四位数恰是原三位数的9倍,求这样的三位数中最小的数与最大的数分别是多少?
分析:设原来的三位数为
.
abc
,百位与十位之间插入的数字为x,插入后得到的四位数记
.
axbc
,则有
.
axbc
=9
.
abc
且a≠0
,然后讨论a、b、c的可能值,最后解得答案.
解答:解:设原来的三位数为
.
abc
,百位与十位之间插入的数字为x,插入后得到的四位数记
.
axbc
,则有
.
axbc
=9
.
abc
且a≠0

即1000a+100x+10b+c=9(100a+10b+c),整理得100a+100x=80b+8c.(*)
所以8c是10的倍数,即c=0或c=5.(4分)
1当c=0时,(*)变为100a+100x=80b2,即10(a+x)=8b3,
所以8b是10的倍数,解得b=0或b=5.
若b=0,则有10(a+x)=0,那么a=x=0,这与a≠0矛盾;
若b=5,则有10(a+x)=8×5,a+x=4,而a≠0,所以a=1,2,3,4,
所以当c=0时,最大的三位数为450,最小的三位数为150.(7分)
4当c=5时,(*)变为100a+100x=80b+405,即10(a+x)=8b+46,
所以8b+4是10的倍数,因此b=2或b=7.
若b=2,则有10(a+x)=8×2+4,即a+x=2,又a≠0,所以a=1,2;
若b=7,则有10(a+x)=8×7+4,即a+x=6.又a≠0,所以a=1,2,3,4,5,6.
从而当c=5时,最小的三位数是125,最大的三位数是675.(9分)
由①,②可知,满足题意的最小三位数是125,最大三位数是675.(10分)
点评:本题主要考查整数的十进制表示法的知识点,新四位数是原三位数的9倍是解答本题的关键字句,理解题意后,对a、b、c进行讨论也非常关键.
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