Question

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）如图2，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
①图2中共有

6

  个“8字形”；
②若∠ABC=80°，∠ADC=38°，求∠P的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法）
③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AEB与∠DEC，再根据对顶角相等可得∠AEB=∠DEC，然后整理即可得解；
（2）①根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可；
②根据（1）的关系式求出∠DCO-∠BAO=42°，再根据角平分线的定义求出∠DAM-∠PCM，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；
③根据“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCD-∠OAB，再用∠B、∠P表示出∠BAM-∠PCM，然后根据角平分线的定义可得∠BAM-∠PCM=

1

2

（∠OCD-∠OAB），然后整理即可得证．

解答：解：（1）在△AEB中，∠AEB=180°-∠A-∠B，
在△DEC中，∠DEC=180°-∠D-∠C，
∵∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴180°-∠A-∠B=180°-∠D-∠C，
∴∠A+∠B=∠D+∠C；

（2）①交点有点M、N各有1个，交点O有4个，
所以，“8字形”图形共有6个；
故答案为：6；

②∵∠ABC=80°，∠ADC=38°，
∴∠OAB+80°=∠DOC+38°，
∴∠DCO-∠BAO=42°，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM=

1

2

∠DAB，∠PCM=

1

2

∠OCD，
又∵∠DAM+∠P=∠PCD+∠ADC，
∴∠P=∠PCD+∠ADC-∠DAM=

1

2

（∠DCO-∠BAO）+∠ADC=

1

2

×42°+38°=59°；

③根据“8字形”数量关系，∠OAB+∠B=∠OCD+∠D，∠BAM+∠B=∠PCM+∠P，
所以，∠OCD-∠OAB=∠B-∠D，∠PCM-∠BAM=∠B-∠P，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠BAM=

1

2

∠OAB，∠PCM=

1

2

∠OCD，
∴

1

2

（∠B-∠D）=∠B-∠P，
整理得，2∠P=∠B+∠D．

点评：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．