分析 设⊙O与EF相切于M,连接EB,作EH⊥BC于H.由题意易知四边形AEHB是矩形,设AE=BH=x,由切线长定理可知,ED=EM,FC=FM,由B、F关于EH对称,推出HF=BH=x,ED=EM=7-x,FC=FM=7-2x,EF=14-3x,在Rt△EFH中,根据EF2=EH2+HF2,列出方程即可解决问题.
解答 解:如图,设⊙O与EF相切于M,连接EB,作EH⊥BC于H.
由题意易知四边形AEHB是矩形,设AE=BH=x,
由切线长定理可知,ED=EM,FC=FM,
∵B、F关于EH对称,
∴HF=BH=x,ED=EM=7-x,FC=FM=7-2x,EF=14-3x,
在Rt△EFH中,∵EF2=EH2+HF2,
∴42+x2=(14-3x)2,
解得x=3或$\frac{15}{2}$(舍弃),
∴AE=3,
故答案为3.
点评 本题考查切线的性质、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型.
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