Question

【题目】如图，在中，，点在内，，，点在外，，．

（1）求的度数．

（2）判断的形状并加以证明．

（3）连接，若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）∠ADC=150°；（2）△ACE是等边三角形，证明见解析；（3）DE=6．

【解析】

（1）先证明△DBC是等边三角形，根据SSS证得△ADC≌△ADB，得到∠ADC=∠ADB即可得到答案；

（2）证明△ACD≌△ECB得到AC=EC，利用即可证得的形状；

（3）根据及等边三角形的性质求出∠EDB=30°，利用求出∠DBE=90°，根据△ACD≌△ECB，AD=3，即可求出DE的长.

（1）∵BD=BC，∠DBC=60°，

∴△DBC是等边三角形．

∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．

在△ADB和△ADC中，，

∴△ADC≌△ADB．

∴∠ADC=∠ADB．

∴∠ADC=（360°﹣60°）=150°．

（2）△ACE是等边三角形．

理由如下：∵∠ACE=∠DCB =60°，

∴∠ACD=∠ECB．

∵∠CBE=150°，∠ADC=150°

∴∠ADC=∠EBC．

在△ACD和△ECB中，，

∴△ACD≌△ECB．

∴AC=CE．

∵∠ACE=60°，

∴△ACE是等边三角形．

（3）连接DE．

∵DE⊥CD，

∴∠EDC=90°．

∵∠BDC=60°，

∴∠EDB=30°．

∵∠CBE=150°，∠DBC=60°，∴∠DBE=90°．

∴EB=DE．

∵△ACD≌△ECB，AD=3，

∴EB = AD =3．

∴DE=2EB=6．