分析 作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,作CH⊥AB于H,如图,设⊙P的半径为r,根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r,AD=AE,再利用勾股定理计算出OB=6,则可判断△OBC为等腰直角三角形,从而得到△PCD为等腰直角三角形,则PD=CD=r,AE=AD=2+r,通过证明△ACH∽△ABO,利用相似比计算出CH=$\frac{6}{5}$,接着利用勾股定理计算出AH=$\frac{8}{5}$,所以BH=10-$\frac{8}{5}$=$\frac{42}{5}$,然后证明△BEP∽△BHC,利用相似比得到即$\frac{10-(2+r)}{\frac{42}{5}}$=$\frac{r}{\frac{6}{5}}$,解得r=1,从而易得P点坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值.
解答 解:作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,作CH⊥AB于H,如图,设⊙P的半径为r,
∵⊙P与边AB,AO都相切,
∴PD=PE=r,AD=AE,
在Rt△OAB中,∵OA=8,AB=10,
∴OB=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6,
∵AC=2,
∴OC=6,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴△PCD为等腰直角三角形,
∴PD=CD=r,
∴AE=AD=2+r,
∵∠CAH=∠BAO,
∴△ACH∽△ABO,
∴$\frac{CH}{OB}$=$\frac{AC}{AB}$,即$\frac{CH}{6}$=$\frac{2}{10}$,解得CH=$\frac{6}{5}$,
∴AH=$\sqrt{A{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-(\frac{6}{5})^{2}}$=$\frac{8}{5}$,
∴BH=10-$\frac{8}{5}$=$\frac{42}{5}$,
∵PE∥CH,
∴△BEP∽△BHC,
∴$\frac{BE}{BH}$=$\frac{PE}{CH}$,即$\frac{10-(2+r)}{\frac{42}{5}}$=$\frac{r}{\frac{6}{5}}$,解得r=1,
∴OD=OC-CD=6-1=5,
∴P(5,-1),
∴k=5×(-1)=-5.
故答案为-5.
点评 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线不确定切点,则过圆心作切线的垂线,则垂线段等于圆的半径.也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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A. | (0,0) | B. | (0,2) | C. | (2,-4) | D. | (-4,2) |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4 | B. | 7 | C. | 3 | D. | 12 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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