Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB.C为中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G.

（1）求证：CG是⊙O的切线；

（2）若BOF=120°，且CE=4,求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为4

【解析】

（1）连接OC，利用垂径定理得到OC⊥BF，根据CG∥FB得到∠OCG=90°即可求解；

（2）连接BC，由（1）知，∠COB =60°，得到△OBC为等边三角形.，由CD⊥OB得到∠OCD=30°，求出EM=CE=2,利用勾股定理求出CM=，再根据等腰三角形“三线合一”得OM=CM=，故OC=4，即为半径长.

（1）证明：连接OC.

∵点C为的中点，

∴,

所以∠COB=∠COF，

因为OB=OF,

所以OC⊥BF，

设垂足为M，则∠OMB=90°.

因为CG∥FB，

所以∠OCG=∠OMB=90°，

所以CG是⊙O的切线.

（2）解：连接BC.

由（1）知，∠COB=∠COF=∠BOF=60°，

因为OB=OC，

所以△OBC为等边三角形，∠OCB=60°，

∵CD⊥OB，

∴CD平分∠OCB，

∴∠OCD=30°，

则EM=CE=2,

又OC⊥BF，

所以CM=.

∴OM=CM=，

所以OC=4，即⊙O的半径为4